Programma del corso di Equazioni della Fisica Matematica
A.A. 2001-2002
Docente: Anna De Masi

Nel corso si sono studiate le equazioni del primo ordine, di Laplace, delle onde e del calore. In casi semplici si e’ costruita la soluzione esplicita e se ne sono discusse le sue proprietà qualitative. Si sono svolti esercizi e si sono assegnati esercizi da svolgere.

Il corso e’ iniziato Lunedi 1 Ottobre 2001 ed e’ terminato Mercoledi 5 Dicembre 2001 .

Si riporta qui di seguito il programma svolto nelle 9 settimane: in ogni settimana si sono svolte 6 ore di didattica frontale. In totale si sono svolte 31 ore di lezione e 23 di esercitazione oltre le due prove d’esame.

Prima Settimana: Equazioni lineari e quasi lineari del primo ordine.

·  Studio di un modello per l’equazione del trasporto e l’equazione di Burgers. Generalita’ sulle leggi di conservazione scalari. Soluzione generale dell’equazione del trasporto.

·  Esistenza locale della soluzione del problema di Cauchy per le leggi di conservazione scalari col teorema delle funzioni implicite.

·  Superfici integrali e curve caratteristiche. Esempi

·  Il problema di Cauchy per equazioni lineari e quasi lineari del primo ordine in 2 variabili. Esistenza ed unicità locale della soluzione col metodo delle caratteristiche.

Seconda Settimana: Equazioni lineari e quasi lineari del primo ordine.

·  Esercizi sulle equazioni del primo ordine in due variabili

·  Esercizi sull’equazione di Burgers e sullo sviluppo di singolarita’.

·  Il problema di Cauchy per equazioni lineari e quasi lineari del primo ordine in n variabili con esercizi.

·  Caso completamente non lineare in 2 variabili con esercizi..

Terza Settimana: L'equazione della corda.

·  Derivazione qualitativa dell'equazione della corda.

·  Problema ai valori iniziali. Formula di D’Alembert. Rette caratteristiche, dominio di dipendenza e di influenza. Esercizi.

·  Equazione della corda non omogenea; soluzione del problema di Cauchy.

·  Problemi misti. Metodo di separazione delle variabili con esercizi. Metodo della riflessione con esercizi.

·  Metodo d’energia e sue conseguenze con esercizi.

Quarta Settimana: L'equazione della corda. Identita’ di Green. Equazione delle onde.

·  Relazione tra i valori che la soluzione dell'equazione della corda assume ai vertici di quadrilateri con lati paralleli alle direzioni caratteristiche. Esercizi su problemi misti risolubili con la regola del parallelogramma.

·  Richiami sulle identita’ di Green. Formula della coarea.

·  Equazione delle onde. Metodo della media sferica. Equazione di Eulero-Poisson- Darboux. Il metodo della discesa: formule di Kirchhoff e di Poisson.

·  Il metodo dell'energia e sue consequenze. Teorema di unicità.

Quinta Settimana: Esercizi. Introduzione all’equazione di Laplace.

·  Esercizi di ricapitolazione sull’equazione della corda e delle onde.

·  Richiami di elettromagnetismo. Elettrostatica ed equazione di Laplace.

·  Esercizi di ricapitolazione su tutto il programma svolto. Esercizi di preparazione alla prova intermedia.

Prova d'esame intermedia: Giovedi 8 Novembre (vedasi testo con soluzione in allegato)

Sesta Settimana: Equazioni di Laplace e di Poisson.

·  Generalità sulle funzioni armoniche e soluzioni fondamentali.

·  Equazione di Poisson con esercizi.

·  Teorema del valor medio. Viceversa al teorema del valor medio. Esercizi.

·  Principio del massimo e teorema di unicita’. Esercizi

·  Metodo d'energia.

Settima Settimana: Regolarita’ delle funzioni armoniche. Metodo della funzione di Green.

·  Regolarità delle funzioni armoniche: stime delle derivate Teorema di Liouville e sue consequenze.

·  Metodo della funzione di Green. La funzione di Green sulla sfera e sul semispazio. Simmetricità della funzione di Green.

·  Problema di Neumann in generale e per il cerchio con esercizi.

·  Esercizi col metodo della funzione di Green e col metodo di separazione delle variabili.

Ottava Settimana: Esercizi. L’equazione del calore

·  Esercizi di ricapitolazione sull’equazione di Laplace e Poisson.

·  Introduzione all’equazione del calore in una variabile. Uso della trasformata di Fourier per risolvere il problema ai valori iniziali.

·   Proprieta’ della Gaussiana. Studio dei problemi di esistenza, unicità e regolarità della soluzione del problema di Cauchy in Rⁿ con dati iniziali limitati.

·  Principio del massimo in domini limitati ed in tutto Rⁿ.

·   Esercizi col metodo di separazione delle variabili.

Ottava Settimana: L’equazione del calore

·  Unicita’ per il problema di Cauchy nella classe delle funzioni che non crescono troppo all'infinito. Esempi e controesempi.
·  Equazione del calore non omogenea con esercizi.

·  Problemi misti e metodo d’energia. Esercizi.

·  Esercizi di ricapitolazione sull’equazione del calore.

Prova d'esame conclusiva: Lunedi 17 Dicembre ore 9,30

Libri di testo

F. John Partial Differential Equations , 1975, Springer Verlag

G. Evans Partial Differential Equations , Graduate Studies in Mathematics, Vol.19 1988, American Mathematical Society

Bibliografia

V. S. Vladimirov Equations of Mathematical Physics, 1984 Mir, Moscow

E.C. Zachmanoglou, D.W. Thoe Introduction to Partial Differential Equations with Applications, 1986, Dover, Inc., New York