Teoria ed applicazioni delle equazioni lineari e quasi lineari del primo ordine.
Equazioni quasi lineari del primo ordine in due variabili. Superfici integrali. Curve caratteristiche. Metodi di soluzione. Esempi.
Il problema di Cauchy per equazioni lineari e quasi lineari del primo ordine. Esistenza ed unicità locale della soluzione.
Equazioni del primo ordine: caso generale. Esistenza ed unicità locale della soluzione del problema di Cauchy. Cenni su l'equazione di Hamilton Jacobi.

Bibliografia
F. John Partial Differential Equations , 1975, Springer Verlag
G. Evans Partial Differential Equations , Graduate Studies in Mathematics, Vol. 19 1988, American Mathematical Society

Equazioni lineari del secondo ordine: caratteristiche e forma canonica.
Classificazione e forma canonica delle equazioni lineari del secondo ordine. Superfici caratteristiche.
Bibliografia:
V. S. Vladimirov Equations of Mathematical Physics,, 1984 Mir, Moscow

La serie di Fourier.
Metodo di separazione delle variabili: sviluppo in serie di Fourier delle funzioni periodiche. Esempi ed esercizi.
Bibliografia
G. Gallavotti Meccanica Elementare, 1980, Boringhieri

L'equazione delle onde.
Sistemi di oscillatori armonici, limite continuo e derivazione dell'equazione della corda vibrante.
L'equazione della corda vibrante: problema ai valori iniziali. Rette caratteristiche, dominio di dipendenza e di influenza. Relazione tra i valori che la soluzione dell'equazione della corda assume ai vertici di quadrilateri con lati paralleli alle direzioni caratteristiche. Problemi misti.
Il metodo di separazione delle variabili. Esercizi.
Soluzione del problema misto per prolungamento dispari e periodico dei dati iniziali.
Il metodo dell'energia e sue consequenze. Teorema di unicità.
Alcune soluzioni dell'equazione delle onde. Onde piane e sferiche.
Soluzione del problema ai valori iniziali. Metodo della media sferica. Equazione di Eulero-Poisson- Darbeaux. Il metodo della discesa: formule di Kirchoff, di Poisson e di D'Alembert. Equazione delle onde non omogenea.
Discussione della soluzione al problema ai valori iniziali. Propagazione di onde in regioni con frontiera. Unicità della soluzione del problema al contorno e ai valori iniziali. Riflessioni di onde. Esempio della corda pizzicata.
Bibliografia:
per gli oscillatori armonici vedasi Gallavotti. Per gli altri argomenti vedasi John, Evans ed anche
Smoller Shock waves and Reaction Diffusion equations, 1983 Springer Verlag
E.C. Zachmanoglou, D.W. Thoe Introduction to Partial Differential Equations with Applications , 1986, Dover, Inc., New York

L'equazione di Laplace.
Generalità sulle funzioni armoniche e soluzioni fondamentali.
Identità di Green e di Stokes e loro conseguenze.
Equazione di Poisson
Metodo d'energia e Principio di Dirichlet.
Teorema del valor medio. Viceversa al teorema del valor medio.
Funzioni sub/super-armoniche: teorema del valor medio e principi di max/min per funzioni sub/super armoniche. Funzioni convesse e disuguaglianza di Jensen. Funzioni convesse di funzioni armoniche.
Regolarità delle funzioni armoniche: stime delle derivate ed analicità delle funzioni armoniche.
Disuguaglianze di Harnack e teorema di Liouville.
Metodo della funzione di Green. La funzione di Green sulla sfera e sul semispazio. Simmetricità della funzione di Green.
Problema di Dirichlet per l'equazione di Laplace in domini la cui frontiera soddisfa la condizione della sfera esterna. Dimostrazione del Teorema di esistenza usando funzioni subarmoniche (metodo di Perron).
Problema di Neumann in generale e per il cerchio.
Problema agli autovalori in domini limitati. Teoria $L^2$. Soluzione del problema di Dirichlet col metodo delle soluzioni deboli.

Bibliografia: Vedasi Evans e John.

L'equazione del calore.
Trasformata di Fourier.
Gaussiana e problema ai valori iniziali.
Studio dei problemi di esistenza, unicita' e regolarita' della soluzione del problema di Cauchy in $R^n$ con dati iniziali limitati.
Equazione del calore non omogenea. Soluzione e sue proprietà.
Principio del massimo in domini limitati ed in tutto $R^n$. Problema di Cauchy con dati iniziali che crescono all'infinito.
Metodo dell'energia e teorema di unicita' all'indietro. Esempio di Tychnoff. Unicita' della soluzione per dati iniziali non negativi.
Regolarita' e stime delle derivate della soluzione dell'equazione del calore.
Bibliografia: Vedasi Evans e John.

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