Programma del corso di Geometria A (per Matematici - i Fisici mutuano i primi 9 CFU)
(9 CFU) Mutuato dai Fisici
Preliminari:
- Definizione di campo, di relazione di equivalenza, di classi di equivalenza. Nozione di partizione. Esempi di relazioni di equivalenza.
- Nozione di vettori applicati, vettori equipollenti. Operazioni con i vettori.
Matrici e sistemi lineari :
- Operazioni tra matrici e loro proprietà. Matrici di forma particolare. Prodotto righe per colonne tra matrici e relative proprietà. Riduzione a scala per righe di una matrice e nozione di rango per righe. Matrici elementari e loro relazione con la riduzione a scala di una matrice.
- Sistemi di equazioni lineari e metodo di eliminazione di Gauss. Sistemi di equazioni lineari omogenei.
- Matrici invertibili. Algoritmo per il calcolo dell'inversa di una matrice.
- Nozione di determinante. Regola di Sarrus per il calcolo del determinante di matrici di ordine tre. Calcolo del determinante con la regola di Laplace. Nozione di cofattori di una matrice. Determinante di matrici particolari. Come cambia il determinante di una matrice se si effettuano operazioni elementari sulle righe della matrice. Calcolo del determinante col metodo di eliminazione di Gauss. Determinante di un prodotto di matrici. Significato geometrico del determinante. Caratterizzazione di matrici invertibili. Regola di Cramer.
Spazi vettoriali :
- Definizione di spazio vettoriale. Nozione di vettori linearmente indipendenti e non ed esempi. Nozione di base di uno spazio vettoriale ed esempi. Due qualunque basi finite hanno lo stesso numero di vettori. Nozione di dimensione di uno spazio vettoriale. Come selezionare una base da un sistema di generatori.
- Sottospazi vettoriali. Sottospazio somma, sottospazio intersezione. Completamento a una base. Relazione di Grassmann. Equazioni parametriche e cartesiani di sottospazi vettoriali di Rn. Spazio delle righe (colonne) di una matrice. Teorema del rango.Teorema di Rouché-Capelli.
- Matrice del cambiamento di base. Relazione tra le componenti di un vettore in basi diverse.
Trasformazioni lineari e diagonalizzazione :
- Nozione di applicazione lineare. Alcune proprietà delle applicazioni lineari. Nucleo di un'applicazione lineare. Caratterizzazione di applicazioni lineari iniettive. Teorema della nullità più il rango. Nozione di isomorfismo tra spazi vettoriali.
- Matrice associata a un'applicazione lineare
- Relazione tra le matrici associate a un'applicazione lineare in basi diverse. Matrici simili.
- Numeri complessi e loro rappresentazione geometrica.
- Endomorfismi. Nozione di autovalore, autovettore, endomorfismo diagonalizzabile. Nozione di autospazio. Polinomio caratteristico di un endomorfismo. Indipendenza lineare di autovettori corrispondenti a autovalori distinti. Invarianti per similitudine. Nozione di molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore e loro relazione. Caratterizzazione di endomorfismi diagonalizzabili.
Spazi euclidei
- Prodotto scalare. Matrice associata a un prodotto scalare. Nozione di matrici congruenti. Matrici ortogonali e basi ortonormali. Teorema di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt.
Sottospazio ortogonale. Proiezione ortogonale su un sottospazio.
- Prodotto vettoriale. Proprietà del prodotto vettoriale. Prodotto misto.
Geometria del piano e dello spazio :
- Rette nel piano e nello spazio e loro equazioni parametriche e cartesiane. Parametri direttori di una retta. Condizione di parallelismo tra due rette. Condizione di parallelismo tra due piani. Condizione di parallelismo retta-piano. Condizioni di incidenza tra due rette. Rette sghembe. Fasci di piani.
- Angolo convesso tra due rette. Vettore normale ad una retta, angolo convesso tra due rette, distanza punto-retta. Vettore normale ad un piano, angolo convesso tra due piani, angolo convesso tra una retta ed un piano, distanza punto-piano, distanza punto-retta, distanza tra due rette.
Spazi hermitiani :
- Prodotto hermitiano. Matrici hermitiane e prime proprietà. Teorema di diagonalizzazione e teorema spettrale per matrici hermitiane.
Matrici unitarie. Operatori hermitani e operatori unitari.
Coniche :
Classificazione metrica e classificazione affine delle coniche.
(3 CFU) Solo Matematici
Forme bilineari, forme quadratiche e diagonalizzazione delle forme quadratiche e complementi :
- Forme bilineari. Matrice associata a una forma bilineare. Come cambia la matrice associata a una forma bilineare se si cambia base. Rango di una forma bilineare.
- Forma quadratica associata a una forma bilineare simmetrica. Metodo di Lagrange per ridurre una forma quadratica a forma canonica.Teorema di Sylvester. Nozione di segnatura di una forma quadratica. Nozione di forma quadratica definita (semidefinita) positiva, definita negativa. Criterio per stabilire se una matrice simmetrica reale è definita positiva o definita negativa.
Isometrie del piano e dello spazio tridimensionale :
- Le rotazioni. Le riflessioni. Proprietà delle isometrie piane.
- Classificazione delle isometrie tridimensionali.
Quadriche:
Classificazione metrica e affine delle quadriche.
Forma canonica di Jordan :
- Endomorfismi nilpotenti e endomorfismi ciclici. Alcune proprietà degli endomorfismi nilpotenti. Forma canonica di Jordan per endomorfismi nilpotenti. Forma canonica di Jordan per endomorfismi qualunque.
Libri di testo:
- Appunti del docente
- E. Sernesi: Geometria 1, Ed. Boringhieri
Altri testi utili
- T.M. Apostol: Calcolo, volume secondo Geometria, Boringhieri
- F. Flamini, A. Verra: Matrici e Vettori. Corso di base di geometria e algebra lineare, Carocci
- G. Campanella: Esercizi di Algebra Lineare e Geometria, Aracne
- W.K. Nicholson: Algebra lineare. Dalle applicazioni alla teoria,
McGraw-Hill
- L. Chiantini: Algebra lineare e geometria analitica, Masson
- C. Ciliberto: Appunti di Algebra Lineare, Unitor
- S. Abeasis: Esercizi di Algebra Lineare e Geometria, Aracne
Risultati di apprendimento previsti
L'obiettivo del corso è quello di fornire allo studente le prime nozioni di algebra lineare e di utilizzarle per presentare in un linguaggio moderno la geometria analitica del piano e dello spazio.
Si vuole anche introdurre lo studente al problema della diagonalizzazione di matrici e lo si fa partendo da esempi di natura geometrica. Poichè in generale non è detto che una matrice sia diagonalizzabile si fa vedere che per esse esiste una forma particolarmente semplice, detta forma canonica di Jordan.
Si presentano inoltre le forme bilineari e quadratiche che serviranno per introdurre la struttura euclidea.
Si vuole anche che lo studente sia familiare con le isometrie del piano e dello spazio e con una particolare famiglia di curve piane, ovvero le coniche e si dà quindi la loro classificazione sia da un punto di vista metrico che affine. Inoltre si presenta la classificazione affine e metrica delle quadriche.