Introduzione alla Geometria Algebrica (6 CFU)

  a.a. 2017-2018

      Docente:
      - Maria Lucia Fania   tel. 0862-433166   e-mail: marialucia.fania@univaq.it

      Modalità d'esame. L'esame consiste di una prova orale

      Programma


      CURVE ALGEBRICHE PIANE:
      - Esempi di curve parametrizzate. Parametrizzazione di una conica. Polinomi omogenei in due variabili. Teorema di Bézout (casi facili). Spazio di tutte le coniche. Coniche per al piŁ 5 punti. Intersezione di due coniche. Coniche degeneri in un fascio.
      - Esempi di cubiche parametrizzate. La curva di equazione y2=x(x-1)(x-k) non ha parametrizzazione razionale. Sistemi lineari. Cubiche per 8 punti.
      - Spazio delle cubiche piane e sua dimensione. Teorema di Pascal.
      - Proprietà locali di curve algebriche piane. Molteplicità di intersezione di una curva piana in un punto. Punti singolari di una curva piana. Punti di flesso di una curva piana. Hessiana di una curva. Nozione di tangenti principali. Come calcolare le tangenti principali di una curva piana.
      - Preliminari per la classificazione di cubiche piane: nozione di birapporto di una quaterna di punti della retta proiettiva. Teorema di Salmon. Nozione di modulo di una cubica piana. Classi di equivalenza proiettiva di cubiche piane non singolari. Classificazione di cubiche piane non singolari. Classificazione di cubiche piane singolari e irriducibile. Classificazione di cubiche piane singolari.

        VARIETÀ NELLO SPAZIO AFFINE:
      - Anelli Noetheriani: Definizione. Primi esempi. Teorema della base di Hilbert.
      - Insiemi algebrici. Topologia di Zariski. Esempi di insiemi algebrici. Insiemi algebrici irriducibili. Nozione di k-algebra; k-algebra di tipo finito. Corrispondenza Ideali-varietà. Operazioni con ideali e loro significato geometrico.
      - Nullstellensatz Ideali radicali. Teorema degli zeri di Hilbert (Nullstellensatz), forma debole e forma forte. Applicazioni del Teorema degli zeri di Hilbert.
      - Varietà affini: Anello delle coordinate. Funzioni polinomiali. Sottoinsiemi algebrici. Applicazioni polinomiali. Isomorfismi. Proprietà delle applicazioni polinomiali. Omomorfismo indotto.
      - Applicazioni razionali su varietà affini Campo delle funzioni razionali. Dominio di definizione. Ideale dei denominatori di una funzione razionale. Applicazioni razionali. Composizione di applicazioni razionali. Omomorfismo indotto. Applicazione birazionale. Applicazione razionale dominante. Morfismi. Sottoinsiemi aperti standard.

        VARIETÀ NELLO SPAZIO PROIETTIVO:
      - Ideali omogenei. La corrispondenza omogenea. Il Nullstellensatz proiettivo. Funzioni razionali su una varietà. Funzioni regolari. Ricoprimento affine di una varietà proiettiva. Applicazioni razionali e morfismi: Applicazioni razionali a valori in una varietà affine; Applicazioni razionali a valori in una varietà proiettiva; Applicazioni regolari; Morfismi. Applicazioni birazionali. Varietà razionali.
      - Varietà di Segre: Applicazione di Segre. Definizione di varietà di Segre. Sottovarietà delle varietà di Segre. Cubica sghemba. Equazione della cubica sghemba in P1xP1.
      - Varietà di Veronese: Applicazione di Veronese. Varietà di Veronese. Superficie di Veronese. Esempi di varietà birazionali a P2, ma non isomorfe a P2. Sottovarietà delle varietà di Veronese. Combinazione di applicazioni di Veronese e di Segre.
      - Spazio tangente: Spazio tangente ad una ipersuperficie. Nozione di punto non singolare/singolare di una varietà algebrica. Spazio tangente ad una varietà affine. Spazio tangente di Zariski. Grado di una varietà. Calcolo del grado in casi particolari: ipersuperficie, cubica razionale normale, varietà di Veronese, varietà di Segre S2,1.
      - Mappa di scoppiamento. Lo scoppiamento dello spazio affine in un punto. Lo scoppiamento del piano proiettivo in un punto.
      - Ipersuperfici quadriche. La geometria delle ipersuperfici quadriche. Le coordinate di Plucker di una retta di P3. La varietà delle rette di P3 è una quadrica di P5. Caratterizzazione delle quadriche lisce in Pn. Spazi lineari contenuti in una quadrica liscia.

       

      Libri di testo:

      • Appunti del docente
      • E. Sernesi: Geometria 1, Ed. Boringhieri
      • A. Biancofiore: Appunti di Geometria Algebrica, a.a. 2015/2016
      • J. Harris: Lectures on Algebraic Geometry,Graduate Texts in Mathematics. Springer Verlag. (vol. 133) 1992. ╩
      • M. Reid: Undergraduate Algebraic Geometry, London Mathematical Society Student Texts. Cambridge University Press (vol. 12) 1988.
      • D. Cox, J. Little, D. O'Shea: Ideals, Varieties and Algorithms ,Undergraduate Texts in Mathematics. Springer Verlag, 2007.


      Risultati di apprendimento previsti

      L'obiettivo del corso è quello di introdurre lo studente alla geometria algebrica. Lo si fa a partire dalle curve algebriche piane e precisamente da coniche e cubiche per poi passare alle proprietà locali di curve algebriche piane. Si dà inoltre la classificazione delle cubiche algebriche piane.
      Si passa poi a considerare il legame tra l'algebra e la geometria e quindi la corrispondenza tra ideali di polinomi e varietà, dando anche un'interpretazione geometrica delle operazioni tra ideali di polinomi. Questo lo si fa sia nell'affine che nel proiettivo. In particolare si presentano alcune varietà classiche, quali la cubica sghemba; la varietà di Segre; la varietà di Veronese; le equazioni della cubica sghemba in P1xP1. Si considera anche la geometria delle ipersuperfici quadriche, presentandone alcuni aspetti.