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SETTIMANA |
DATA |
MATERIALE
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| Settimana 1
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| Lezione 1, 2 |
5/11/12: 16:00-18:00 |
Omotopia di cammini e proprietà.
Nozione di gruppo fondamentale e primi esempi.
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| Lezione 3, 4 |
6/11/12: 14:15-16:00 |
Nozione di rivestimento ed esempi. Nozione di spazio semplicemente connesso e di rivestimento universale.
Il gruppo fondamentale della circonferenza e del piano bucato.
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| Lezione 5, 6 |
8/11/12: 14:15-16:00 |
Il gruppo fondamentale della superficie sferica.
Il gruppo fondamentale del piano proiettivo e della superficie torica.
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| Settimana 2
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| Lezione 7, 8 |
12/11/12: 16:00-18:00 |
Richiami di algebra multilineare: Prodotto tensoriale.
Prodotto simmetrico di tensori simmetrici. Prodotto esterno di tensori antisimmetrici.
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| Lezione 9, 10 |
13/11/12: 14:15-16:00 |
Forme differenziali. Fibrato delle forme antisimmetriche.
Tirato su di una forma differenziale tramite un'applicazione differenziabile. Nozione di orientazione e di varietà orientabile.
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| Lezione 11, 12 |
14/11/12: 14:15-16:00 |
Caratterizzazione di varietà differenziabili orientabili. Esempi di varietà orientabili e non.
Ipersuperfici e campi vettoriali normali. Caratterizzazione di ipersuperfici orientabili.
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| Settimana 3
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| Lezione 13, 14 |
20/11/12: 14:15-16:00 |
Gruppi topologici ed esempi. Componte connessa di un gruppo topologico che contiene l'identità ed esempi.
Gruppi di Lie e primi esempi. Il gruppo lineare speciale SL(n,R).
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| Lezione 15, 16 |
21/11/12: 14:15-16:00 |
Il gruppo ortogonale. Il gruppo ortogonale speciale.
La sfera 3-dimensionale come gruppo di Lie.
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| Lezione 17, 18 |
22/11/12: 16:00-18:00 |
Azione di gruppo. Nozione di orbita e proprietà delle orbite.
Stabilizzatore di un gruppo. Esempi.
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| Settimana 4
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| Lezione 19, 20 |
26/11/12: 16:00-18:00 |
Il gruppo moltiplicativo U dei quaternioni di norma 1.
Legame tra U e SO(3).
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| Lezione 21, 22 |
27/11/12: 14:15-16:00 |
Compattezza dei gruppi U(n), SU(n), O(n), SO(n).
Il gruppo SO(3) è omeomorfo allo spazio proiettivo reale tridimensionale.
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| Lezione 23, 24 |
29/11/12: 14:15-16:00 |
Spazi omogenei ed esempi. Varietà di Grassmann.
Le varietà di Grassmann come spazi omogenei.
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| Settimana 5
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| Lezione 25, 26 |
3/12/12: 16:00-18:00 |
Azione di un gruppo discreto su una varietà ed esempi.
Azione propriamente discontinua. Azione libera. Spazio delle orbite.
Nozione di atlante complesso e di struttura complessa. Esempi di varietà complesse.
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| Lezione 27, 28 |
4/12/12: 14:15-16:00 |
Nozione di superficie di Riemann. Ogni superficie di Riemann è orientabile.
Teorema di classificazione per superfici reali compatte orientabili. Nozione di genere.
Nozione di triangolazione di una superficie reale. Numero di Eulero di una superficie reale compatta e relazione con il suo genere.
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| Lezione 29, 30 |
5/12/12: 14:15-16:00 |
Curve algebriche piane. Nozione di curva liscia.
Ogni curva proiettiva piana liscia è una superficie di Riemann compatta. Esempi di curve proiettive piane lisce.
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| Settimana 6
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| Lezione 31, 32 |
10/12/12: 16:00-18:00 |
Il toro complesso.
Struttura complessa sul toro.
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Lezione 33, 34 |
11/12/12: 14:15-16:00 |
Funzioni olomorfe e meromorfe su una superficie di Riemann ed esempi.
Ordine di una funzione meromorfa in un punto. Funzioni meromorfe sulla sfera di Riemann. Funzioni razionali.
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| Lezione 35,36 |
12/12/12: 14:15-16:00 |
Nozione di applicazione olomorfa tra superfici di Riemann. Alcuni risultati riguardanti applicazioni olomorfe tra superfici di Riemann. Forma locale normale di un'applicazione olomorfa.
Nozione di punto di ramificazione, di diramazione. Nozione di grado di un'applicazione olomorfa.
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| Settimana 7
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| Lezione 37,38 |
17/12/12: 16:00-18:00 |
Applicazioni della teoria del grado: la somma degli ordini di una funzione meromorfa.
Teorema di Hurwitz. Esercizi.
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| Lezione 39, 40 |
19/12/12: 14:15-16:00 |
Forme differenziali su superfici di Riemann. Esempi. Tirato su di forme differenziali e loro ordine in un punto.
Nozione di divisore su una superficie di Riemann. Divisori su superficie di Riemann compatta e nozione di grado di un divisore. Divisore principale. Esempi.
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| Lezione 41, 42 |
20/12/12: 14:15-16:00 |
Divisore canonico. Grado di un divisore canonico. Divisore immagine inversa.
Divisore di ramificazione e di diramazione di un'applicazione olomorfa. Spazi di funzioni associate a un divisore.
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| Settimana 8
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| Lezione 43, 44 |
7/01/13 16:00-18:00 |
Divisore di intersezione. Equivalenza lineare di divisori. Ordine parziale in Div(X).
Caratterizzazione di divisori principali sulla sfera di Riemann. Spazio di funzioni associato a un divisore ed esempi.
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| Lezione 45, 46 |
8/01/13: 14:15-16:00 |
Sistema lineare completo associato a un divisore. Nozione di punto base di un sistema lineare completo.
Una limitazione sulla dimensione dello spazio L(D). Enunciato del Teorema di Riemann-Roch.
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| Lezione 47, 48 |
9/01/13: 14:15-16:00 |
Nozione di divisore molto ampio. Criterio di molto ampiezza di un divisore in termini del grado.
Curve di genere 1.
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| Settimana 9
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| Lezione 49, 50 |
14/01/13: 16:00-18:00 |
Superfici di Riemann iperellittiche. |
| Lezione 51, 52 |
15/01/2013: 14:15-16:00 |
Sistema canonico. Mappa canonica.
Curve canoniche.
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| Lezione 53, 54 |
16/01/2013: 11:15-13:00 (Aula A1.2) |
Classificazione di curve di genere 3 e 4.
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| Settimana 10
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| Lezione 55, 56 |
21/01/2013: 16:00-18:00 |
Divisore speciale e non speciale.
Nozione di sistema lineare di dimensione r e grado d. Nozione di curva trigonale.
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| Lezione 57, 58 |
22/01/2013: 14:15-16:00 |
Teorema di Clifford.
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| Lezione 59, 60 |
23/01/2013: 11:15-13:00 (Aula A1.2) |
Mappe olomorfe tra tori complessi.
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