PROGRAMMA DI ALGEBRA SUPERIORE - A.A. 1999 - 2000 Dott. Anna Guerrieri

Questo é un corso di Algebra Commutativa, ossia vengono studiati gli anelli commutativi con l’unitá. Gli esempi guida sono: gli interi, gli anelli di polinomi sugli interi ed i loro quozienti, gli anelli di polinomi sui campi ed i loro quozienti.

Questi tipi di oggetti sono al centro della Teoria algebrica dei numeri e della Geometria algebrica. L’Algebra Commutativa, quindi, puó essere pensata come ‘il cuore’ algebrico di queste altre teorie. Le tecniche che vengono sviluppate in Algebra Commutativa trovano naturale applicazione sia nella geometria dei luoghi di punti soluzioni di equazioni polinomiali sia nella teoria dei numeri. In questi ultimi anni, infine, é emersa potentemente un ulteriore connessione, ossia quella con la combinatoria attraverso la Teoria delle Basi di Gröbner per gli ideali degli anelli polinomiali.

(1) Anelli commutativi con l’unitá: Prime definizioni ed esempi. Prodotti di anelli, omomorfismi di anelli, anelli quoziente. Ideali ed operazioni fra ideali. Ideali primi e massimali. Anelli locali. Spettro primo di un anello. Spettro massimale di un anello. Topologia di Zariski. Legame tra algebra e geometria. Analisi dello spettro di ℂ[X, Y]/(Y^{2} − X^{3}). Il nilradicale di un anello. Il radicale di un ideale. In un anello commutativo esistono sempre degli ideali massimali. Ideali coprimi o comassimali. Teorema Cinese dei resti. Analisi di particolari anelli commutativi: anelli di polinomi e di potenze formali. Teorema di Prime Avoidance.

(2) Moduli su anelli commutativi: Definizioni e primi esempi. Mappe tra moduli: omomorfismi, complessi e successioni esatte corte. Moduli finitamente generati. Moduli ciclici. Moduli liberi. Teorema di Cayley-Hamilton. Lemma di Nakayama. Conseguenze del Lemma di Nakayama: sistemi di generatori minimali per moduli finitamente generati su anelli locali. Prodotto tensoriale di due moduli. Esistenza del prodotto tensoriale. Regole (senza dimostrazioni) per il prodotto tensoriale: calcoli.

(3) Anelli di frazioni: Definizioni e primi esempi di sistemi moltiplicativamente chiusi ed anelli di frazioni. Localizzazione. Omomorfismo canonico. Estensione di ideali. Gli ideali negli anelli di frazioni. Struttura degli ideali primi negli anelli di frazioni.

(4) Anelli Noetheriani: Definizione di anello Noetheriano. Primi esempi di anelli Noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Quozienti di anelli Noetheriani. Localizzazione di anelli Noetheriani. In un anello Noetheriano ogni ideale contiene una potenza del suo radicale. Esempi di anelli non Noetheriani.

(5) Decomposizione primaria: Definizione di ideale primario. Radicale di un ideale primario. Esempi di ideali primari. Se il radicale di un ideale é massimale, allora l’ideale é primario. Definizione di ideale irriducibile. In un anello Noetheriano ogni ideale irriducibile é primario. Definizione di decomposizione primaria. In un anello Noetheriano ogni ideale ha una decomposizione primaria. Concetto di primi associati. Concetto di componenti primarie. I primi associati non dipendono dalla decomposizione scelta. Le componenti primarie non sono uniche. Esempi concreti di decomposizione primaria nell’anello dei polinomi a coefficienti in un campo.

(6) Dipendenza integrale: Concetto di dipendenza integrale. Richiami sulle estensioni algebriche di campi. Esempi classici. Un UFD é integralmente chiuso nel suo campo dei quozienti. La chiusura integrale di A in B é un anello. (Richiami sul teorema di Cayley - Hamilton). Analisi della struttura delle inclusioni integrali. Teorema di Going Up. Forma canonica di Jordan (dal libro Algebra di M. Artin).

(7) Anelli Artiniani: Definizione e primi esempi. Un anello é Artiniano se e solo se é Noetheriano e zero-dimensionale.

Per studiare: Note delle lezioni. M.F. Atiyah - I. Macdonald: Introduction to commutative algebra - Capitoli:1,2,3,4,5,7,8. M. Reid: Undergraduate commutative algebra.