anno accademico 2011/12

programma svolto da Francesco Leonetti

Definizione di misura ed esempi (Lebesgue, Dirac, testa o croce).
Insiemi misurabili e proprieta'.
Insiemi di misura nulla e misurabilita'.
Tutti gli insiemi sono misurabili rispetto alla misura di Dirac ed a quella associata a testa o croce.
Sigma algebre. Sigma algebra di Borel.
Misure di Borel e misure di Radon.
Misura di Hausdorff s-dimensionale in R^n: definizione e proprieta'.
Dimensione di Hausdorff di un insieme.
Un insieme che non e' H^1 misurabile.
Insieme di Cantor in R^2 di parametro k: sua costruzione e stime per la sua misura di Hausdorff H^s.
Funzioni limitate su insiemi di misura finita: funzioni semplici (loro proprieta' e loro integrale), funzioni integrabili (loro proprieta' e loro integrale).
Integrazione rispetto alla misura di Dirac.
Funzioni misurabili, funzioni continue e loro legame con quelle integrabili.
Funzioni non limitate su insiemi di misura qualunque e loro integrale.
Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale.
Misura prodotto e teorema di Fubini.
Derivata di una misura rispetto ad un'altra. Teorema di Radon-Nikodym; decomposizione di Lebesgue.
Spazi L^p e riflessivita'. I funzionali lineari e continui su L^p.

Riferimenti

Dispense sulla Teoria della Misura (anno accademico 2002/03) scritte da Federica Pezzotti

Dispense sulla Teoria della Integrazione (anno accademico 2003/04) scritte da Lucilla Macchiagodena ; per l'errata corrige vedere qui

Dispense sull'insieme di Cantor (anno accademico 2006/07) scritte da Fabio Aiello e Romina Eramo; per l'errata corrige vedere qui

Evans L. C. - Gariepy R. F. "Measure theory and fine properties of functions" CRC Press 1992

Rudin W. "Analisi reale e complessa" Boringhieri 1974

Brezis H. "Analisi funzionale" Liguori Editore 1986