anno accademico 2012/2013

Concetti fondamentali.
Nozioni di logica matematica; concetto di insieme e le principali operazioni; il principio di induzione; progressione geometrica; fattoriale e coefficienti binomiali; formula del binomio di Newton e il triangolo di Tartaglia; i numeri naturali N, interi Z, razionali Q e reali R; valore assoluto e disuguaglianza triangolare; minimo e massimo, estremo inferiore ed estremo superiore, l’assioma di completezza.

Successioni numeriche.
Successioni convergenti, divergenti, oscillanti e limitate; regole per il calcolo dei limiti; numeri reali estesi; 0+ e 0-; forme determinate e indeterminate; infinitesimi e infiniti, confronto tra infinitesimi e tra infiniti; limiti e ordinamento: teorema del confronto e dei carabinieri, successioni monotone, il numero di Nepero; successioni asintotiche e il principio di sostituzione.

Serie numeriche.
Serie convergenti, divergenti ed irregolari; criterio necessario per la convergenza; serie a termini non negativi; criterio del confronto e del confronto asintotico, criterio della radice e del rapporto, serie a termini di segno variabili, il criterio di Leibniz, convergenza semplice e convergenza assoluta; serie armonica, armonica generalizzata, geometrica ed esponenziale.

Funzioni reali di una variabile reale.
Funzioni iniettive, suriettive, biettive, pari e dispari, periodiche e monotone; funzione inversa; funzioni elementari: polinomi e funzioni razionali, potenza, funzione esponenziale, iperboliche, circolari, grafici; somma, prodotto, quoziente e composizione di funzioni; funzioni monotone e limitate; punti di accumulazione, limiti delle funzioni reali, limite destro e sinistro; regole per il calcolo di limiti; limiti e ordinamento: teorema del confronto e dei carabinieri per le funzioni; limiti notevoli.

Funzioni continue di una variabile.
Funzioni continue su un intervallo: teorema degli zeri e dei valori intermedi, il metodo di bisezione; continuita' delle funzioni elementari e delle loro inverse: logaritmi, inverse delle funzioni circolari e iperboliche; funzioni continue su un intervallo chiuso e limitato: teorema di Weierstrass.

Calcolo differenziale per funzioni di una variabile.
Rapporto incrementale; definizione di derivata e significato geometrico, retta tangente; regole di derivazione; derivazione delle funzioni composte e delle funzioni inverse; derivazione delle funzioni elementari e delle loro inverse; estremi locali, punti critici e teorema di Fermat; i teoremi di Rolle e di Lagrange; conseguenze del teorema di Lagrange; funzioni monotone; estremi locali di funzioni derivabili; funzioni con derivata zero; le regole di de l’Hospital; approssimazione lineare di una funzione; il differenziale; le derivate successive; i simboli di Landau; funzioni con contatto di ordine n; polinomio di Taylor e di Mac Laurin; la formula di Taylor con resto di Lagrange e resto di Peano; i polinomi di Taylor delle funzioni elementari; applicazioni del teorema di Taylor: estremi locali, calcolo numerico, confronti asintotici tra funzioni e calcolo dei limiti con il principio di sostituzione, serie di Taylor, sviluppo delle funzioni elementari.

Studio di funzione.
Estremi locali, zeri, asintoti orizzontali, verticali e obliqui, concavita' e convessita', punti di flesso.

Calcolo Integrale per funzioni di una variabile.
L’integrale di Riemann e significato geometrico; somme inferiori e superiori, caratterizzazione delle funzioni integrabili; classi di funzioni integrabili; proprieta' dell'integrale; teorema della media, la funzione integrale e il teorema fondamentale del calcolo integrale; primitive e integrale indefinito; metodi di integrazione: integrazione per parti e per sostituzione; integrali impropri e criteri di convergenza; criterio integrale per le serie.

Funzioni reali di piu' variabili.
Funzioni reali di piu' variabili, grafico; norma in R^n e limiti in R^n; funzioni continue di piu' variabili; derivate direzionali e derivate parziali; gradiente; continuita' e derivabilita', approssimazione lineare, piano tangente; derivate successive e teorema di Schwarz. Funzioni a valori vettoriali: Funzioni di piu' variabili a valori vettoriali, la Jacobiana, regola della catena, trasformazioni regolari di coordinate: coordinate polari, circolari e sferiche, trasformazioni regolari, invertibilita' locale di trasformazioni.

Calcolo Integrale per funzioni di piu' variabili.
Integrazione di funzioni di due variabili, integrale di Riemann, misura di un insieme, proprieta' dell’integrale, domini semplici e regolari, teorema di Fubini, interpretazione geometrica; cambiamento di variabili, integrazione in coordinate polari; cenno su integrali tripli.