Prof. Francesco Leonetti, a.a. 2005-2006

Programma svolto

Il potenziale elettrostatico generato da una carica puntiforme e l'equazione differenziale in forma debole da lui verificata. L'estensione al caso di dimensione n maggiore o uguale a 3. Il caso della dimensione 2. La frontiera di un aperto a forma di "anello". La derivata "debole" di una funzione L^1: definizione, unicita', restrizione, coincidenza con quella "classica" per funzioni C^1. In dimensione 1 l'esempio positivo della funzione |x| e quello negativo della funzione con un salto. Una condizione sufficiente affinche' una funzione C^1 tranne che in un punto abbia derivata debole (in dimensione 1 ed in dimensione maggiore o uguale a due). Esempi di applicazione. Spazi di Sobolev W^1,1(A), W^1,p(A), W^k,p(A), W^1,p_0(A); norme, separabilita', riflessivita', compattezza debole, disuguaglianza di Poincare'. Punti singolari dei minimi di funzionali integrali e dimensione di insiemi porosi. L'equazione di Perona-Malik e l'holderianita' della derivata prima spaziale.

Bibliografia

Gobbino Massimo, Entire solutions of the one-dimensional Perona-Malik equation, preprint (2003), http://cvgmt.sns.it/papers/gob03/

Kristiansen Jan - Mingione Giuseppe, The singular set of lipschitzian minima of multiple integrals, preprint (2006)

Leonetti Francesco, Dispense del corso di analisi superiore, Universita' di L'Aquila, a.a. 1990/91 e 1991/92

Leonetti Francesco, Esercizi per il corso di analisi superiore, Universita' di L'Aquila, a.a. 1990/91 e 1991/92

Salli Arto, On the Minkowski dimension of strongly porous fractal sets in R^n, Proc. London Math. Soc. 62 (1991), 353-372