progetto di ricerca

Equazioni differenziali, metodi ed applicazioni

Composizione del gruppo

J. Myjak (responsabile)
F. Leonetti
A. Marini

Temi della ricerca

Misure invarianti di operatori di Markov. Attrattori e semiattrattori di sistemi dinamici. Collegamenti tra loro. Studio delle proprieta' tipiche della dimensione di Hausdorff, box counting e frattale. Approssimazione (dal basso e dall'alto) di tali dimensioni. Studio di nuovi concetti di dimensione per misure probabilistiche. Applicazione alle misure invarianti generate dai sistemi delle funzioni iterate e dalle equazioni differenziali.

Studio della esistenza e regolarita' di soluzioni di equazioni differenziali ellittiche e di minimi di funzionali. Un modello variazionale per policristalli. G-chiusura, quasiconvessita' e policonvessita'.

Problemi al contorno in teoria di gauge. In particolare, soluzioni chiamate "monop˛li" con grado topologico assegnato al bordo su un disco in dimensione 3. Questi sono punti critici per il funzionale di Yang-Mills-Higgs. Il problema fornisce un sistema ellittico dopo una opportuna trasformazione di gauge. Il funzionale di Yang-Mills Higgs presenta una analogia spiccata con il funzonale di Ginzburg-Landau per i vortici, ma per quest'ultimo, in dimensione 3, il problema di minimizzazione con grado al bordo assegnato non e' ben posto. La presenza del campo di gauge rende l'analogo problema ben posto in teoria di gauge. Si ricercano soluzioni speciali, a "simmetria sferica" sul disco in dimensione 3, analoghe al monop˛lo di Prasad-Sommerfield su R^3.
Studio di vortici e filamenti. Alla base c'e' la teoria dei vortici di Ginzburg-Landau. In particolare, si studia l'equazione di Gross-Pitaewskj (una particolare Schroedinger non-lineare) e si cercano soluzioni del tipo "onde viaggianti" in dimensione 2 (nel qual caso si producono vortici) e in dimensione 3 (con produzione di filamenti). In dimensione 3, cerchiamo soluzioni a simmetria cilindrica ("vortix rings"). In dimensione 2, cerchiamo un approccio di tipo variazionale diverso da quello usato da Bethuel e Saut alla complessa dimostrazione rigorosa dell'esistenza di vortici ben separati che viaggiano parallelamente per velocita' piccole. (In passato si sono avute evidenze sperimentali dell'esistenza di tali soluzioni ed evidenze matematiche non rigorose, basate su un'analisi qualitativa di tipo asintotico).

Alcune pubblicazioni

[] A. Lasota - J. Myjak Fractals, semifractals and Markov operators Int. J. of Bif. and Chaos, 9 (1999), 307 - 325

[] A. Lasota - J. Myjak Attractors of multifunctions Bull. Pol. Acad. Sci. Math., 47 (2000),

[] J. Myjak - R. Rudnicki On the typical structure of compact sets Arch. Math., (2000)

[] L. Esposito - F. Leonetti - G. Mingione Regularity for minimizers of functionals with p-q growth NoDEA Nonlinear Differential Equations Appl. 6 (1999), 133 - 148

[] L. Esposito - F. Leonetti - G. Mingione Higher integrability for minimizers of integral functionals with (p,q) growth J. Differential Equations 157 (1999), 414 - 438

[] A. Canale - A. D'Ottavio - F. Leonetti - M. Longobardi Differentiability for bounded minimizers of some anisotropic integrals J. Math. Anal. Appl. 253 (2001), 640 - 650

[] F. Leonetti - E. Mascolo - F. Siepe Gradient regularity for minimizers of functionals under p-q subquadratic growth Boll. Un. Mat. Ital. 4-B (2001), 571 - 586

[] L. Esposito - F. Leonetti - G. Mingione Regularity results for minimizers of irregular integrals with (p,q) growth Forum Mathematicum (to appear)

[] F. Leonetti - E. Mascolo - F. Siepe Everywhere regularity for a class of vectorial functionals under subquadratic general growth conditions preprint n. 21, Dipartimento di Matematica "Ulisse Dini", Universita' di Firenze, (2000)

[] L. Esposito - F. Leonetti - G. Mingione Higher differentiability for minimizers of irregular integrals Nonlinear Analysis 47 (2001), 4355 - 4364

[] F. Leonetti - F. Siepe Integrability for vector-valued minimizers of some variational integrals Comment. Math. Univ. Carolinae 42 (2001), 469 - 479

[] L. Esposito - F. Leonetti - G. Mingione Sharp regularity results for functionals with (p,q) growth preprint n. 9, Dipartimento di Matematica Pura ed Applicata, Universita' di L'Aquila, (2001)

[] A. Marini The generalized Neumann problem for Yang-Mills connections Comm. P. D. E. 24 (1999), 665 - 681

[] A. Marini Regularity theory for the generalized Neumann problem for Yang-Mills connections - Non trivial examples in dimensions 3 and 4 Math. Ann. 317 (2000), 173 - 193

[] P. Bauman - A. Marini - V. Nesi Univalent solutions of an elliptic system of partial differential equations arising in homogenization Indiana Univ. Math. J. 49 (2000)

[] A. Marini A boundary value problem for monop˛les over a 3-dimensional disk Preprint 2000

[] A Marini, L. Sadun, Spherycally symmetric monopo`les in dimensions 3, Preprint (posted su arXiv.org - arXiv:math.DG/0201151)

[] A. Marini, A boundary value problem for Yang-Mills vortices over a 2-dimensional disk, Preprint