Analisi Superiore 2

Anno Accademico 2002/2003

Prof. Francesco Leonetti

Programma realizzato

1) Misure

Definizione ed esempi di misure (esterne): l'area, la misura di Lebesgue nello spazio euclideo n-dimensionale, la massa di Dirac concentrata in un punto, la misura di probabilita' associata a "testa" e "croce", la misura associata ad una immagine.
Insiemi misurabili e loro proprieta'. Tutti gli insiemi sono misurabili rispetto alla massa di Dirac concentrata in un punto. Tutti gli insiemi sono misurabili rispetto alla misura di probabilita' associata a "testa" e "croce".
Sigma algebre: definizione e proprieta'; la sigma algebra di Borel.
Misure di Borel, misure Borel regolari, misure di Radon.

2) Misura di Hausdorff H^s

Definizione e proprieta': la misura di Hausdorff H^s e' Borel regolare; quando s=0 concide con la misura che "conta" i punti dell'insieme; quando s=n=dimensione dello spazio ambiente, la misura di Hausdorff coincide con la misura di Lebesgue; invarianza per isometrie; comportamento rispetto alle omotetie; comportamento rispetto a certi prodotti cartesiani; comportamento di H^s(A) e di H^t(A) quando s e' minore di t, H^1 e la lunghezza di una curva; H^2 e l'area di una superficie.
Calcolo di H^s(A) quando: A e' un punto, A e' un segmento, A e' un quadrato.
Stima dal basso e dall'alto per H^s(A) quando A e' l'insieme di Cantor, di parametro k, 0 < k <1/2, nel piano.
Grafico della funzione s ---> H^s(A) negli esempi precedenti.
Dimensione (di Hausdorff) di un insieme.

3) Integrazione

Integrazione, rispetto ad una misura, per funzioni limitate su insiemi di misura finita.
Funzioni che assumono solo un numero finito di valori e loro integrale. Integrabilita' di una funzione limitata. Proprieta' di linearita' e di monotonia dell'integrale. Ogni funzione limitata e' integrabile rispetto alla massa di Dirac concentrata in un punto. Funzioni misurabili, funzioni boreliane, funzioni continue. La misurabilita' garantisce l'integrabilita'. Integrabilita' di una funzione continua rispetto ad una misura di Borel su uno spazio metrico compatto. Confronto tra l'integrazione di Riemann e quella di Lebesgue. I problemi che si incontrano per integrare funzioni su insiemi di misura infinita: l'introduzione delle funzioni che assumono una quantita' numerabile di valori ed i problemi connessi alla loro integrazione. Serie e riordinamenti. Distanza di Monge Kantorovitch tra due misure di Borel unitarie su uno spazio metrico compatto. Calcolo della predetta distanza quando la prima misura e' la misura di Lebesgue nell'intervallo [0 , 1] e la seconda e' la massa di Dirac concentrata in un punto x° di tale intervallo.

4) Sistemi delle Funzioni Iterate

Teorema delle contrazioni. Lo spazio dei compatti non vuoti del piano con la metrica di Hausdorff. Sistemi delle funzioni iterate. Insieme "fisso" ed approssimazione. Sistemi delle funzioni iterate che hanno come insieme "fisso": l'insieme di Cantor, un quadrato, un triangolo, il triangolo di Sierpinski, un segmento, un punto, la curva di Kock. Simulazioni al calcolatore dei sistemi appena descritti.
Compressione frattale di immagini.

5) Problemi di minimo

Funzioni convesse e strettamente convesse: loro importanza nello studio di problemi di minimo. Minimizzazione su insiemi illimitati e ruolo della coercivita'. Un problema di connessione minima: il problema di Steiner. Coercivita' e stretta convessita' della funzione associata al problema di Steiner. Punti stazionari e punti di Fermat. Unicita' del punto stazionario.

Bibliografia

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