Anno Accademico 2002/2003
Prof. Francesco Leonetti
Programma realizzato
1) Misure
Definizione ed esempi di misure (esterne): l'area, la misura di Lebesgue
nello spazio euclideo n-dimensionale, la massa di Dirac concentrata in un
punto, la misura di probabilita' associata a "testa" e "croce", la misura
associata ad una immagine.
Insiemi misurabili e loro proprieta'.
Tutti gli insiemi sono misurabili rispetto alla massa di Dirac
concentrata in un punto.
Tutti gli insiemi sono misurabili rispetto alla misura di probabilita'
associata a "testa" e "croce".
Sigma algebre: definizione e proprieta'; la sigma algebra di Borel.
Misure di Borel, misure Borel regolari, misure di Radon.
2) Misura di Hausdorff H^s
Definizione e proprieta': la misura di Hausdorff H^s e' Borel regolare;
quando s=0 concide con la misura che "conta" i punti dell'insieme; quando
s=n=dimensione dello spazio ambiente, la misura di Hausdorff coincide con
la misura di Lebesgue; invarianza per isometrie; comportamento rispetto
alle omotetie; comportamento rispetto a certi prodotti cartesiani;
comportamento di H^s(A) e di H^t(A) quando s e' minore di t,
H^1 e la lunghezza di una curva; H^2 e l'area di una superficie.
Calcolo di H^s(A) quando: A e' un punto, A e' un segmento, A e' un
quadrato.
Stima dal basso e dall'alto per H^s(A) quando A e' l'insieme di Cantor, di
parametro k, 0 < k <1/2, nel piano.
Grafico della funzione s ---> H^s(A) negli esempi precedenti.
Dimensione (di Hausdorff) di un insieme.
3) Integrazione
Integrazione, rispetto ad una misura, per funzioni limitate su
insiemi di misura finita.
Funzioni che assumono solo un numero finito di
valori e loro integrale. Integrabilita' di una funzione limitata.
Proprieta' di linearita' e di monotonia dell'integrale.
Ogni funzione limitata e' integrabile rispetto alla massa di Dirac
concentrata in un punto.
Funzioni misurabili, funzioni boreliane, funzioni continue.
La misurabilita' garantisce l'integrabilita'.
Integrabilita' di una funzione continua
rispetto ad una misura di Borel
su uno spazio metrico compatto.
Confronto tra l'integrazione di Riemann e quella di Lebesgue.
I problemi che si incontrano per integrare funzioni
su insiemi di misura infinita: l'introduzione delle funzioni che assumono
una quantita' numerabile di valori ed i problemi connessi alla loro
integrazione. Serie e riordinamenti.
Distanza di Monge Kantorovitch tra due misure di Borel unitarie su uno
spazio metrico compatto.
Calcolo della predetta distanza quando la prima misura e' la misura di
Lebesgue nell'intervallo [0 , 1] e la seconda e' la massa di Dirac
concentrata in un punto x° di tale intervallo.
4) Sistemi delle Funzioni Iterate
Teorema delle contrazioni. Lo spazio dei compatti non vuoti del
piano con la metrica di Hausdorff. Sistemi delle funzioni iterate.
Insieme "fisso" ed approssimazione.
Sistemi delle funzioni iterate che hanno come insieme "fisso":
l'insieme di Cantor, un quadrato, un triangolo, il triangolo di
Sierpinski, un segmento, un punto, la curva di Kock.
Simulazioni al calcolatore dei sistemi appena descritti.
Compressione frattale di immagini.
5) Problemi di minimo
Funzioni convesse e strettamente convesse: loro importanza nello studio di
problemi di minimo.
Minimizzazione su insiemi illimitati e ruolo della coercivita'.
Un problema di connessione minima: il problema di Steiner.
Coercivita' e stretta convessita' della funzione
associata al problema di Steiner.
Punti stazionari e punti di Fermat.
Unicita' del punto stazionario.
Bibliografia
Acerbi E., Buttazzo G., Primo corso di Analisi Matematica, Pitagora
Editrice, Bologna, 1997
Barnsley M. F., Fractals everywhere, Academic Press, 1988
Barnsley M. F., Hurd L. P., Fractal image compression, A K Peters, 1993
Campanato S., Lezioni di Analisi Matematica, prima parte, Libreria
Scientifica Giordano Pellegrini, Pisa, 1973
Di Cesare V., Misura di Hausdorff e funzioni lipschitziane,
Tesi di laurea in Matematica, Universita' di L'Aquila, anno accademico
1995-96
Evans L., Gariepy R., Measure theory and fine properties of functions, CRC
Press, 1992
Federer H., Geometric measure theory, Springer Verlag, 1969
Fusco N., Marcellini P., Sbordone C., Analisi Matematica Due, Liguori
Editore, 1996
Giaquinta M., Modica G., Analisi Matematica 1. Funzioni di una variabile.
Pitagora Editrice, 1998
Giaquinta M., Modica G., Analisi Matematica 3. Strutture lineari,
metriche, continuita'. Pitagora Editrice, 2000
Hutchinson John, Deterministic and random fractals,
in: Complex systems, 127--166, Cambridge
Univ. Press, Cambridge, 2000.
Leonetti F., Dispense del corso di analisi superiore, Dipartimento di
Matematica, Universita' di L'Aquila, 1992
Leonetti F., Esercizi di analisi superiore, Dipartimento di Matematica,
Universita' di L'Aquila, 1992
Loukaides P., Misura di Hausdorff, Tesi di laurea in Matematica,
Universita' di L'Aquila, anno
accademico 2001-02
Marcheggiani S., Misura di Hausdorff e frattali, Tesi di laurea in
Matematica, Universita' di L'Aquila, anno accademico 1996-97
Turchi Emiliana, Misura ed integrazione, Tesi di Laurea in Matematica, Universita' di L'Aquila, anno accademico 1997/98