Teoria delle Funzioni e Metodi Variazionali

Anno Accademico 2003/2004

Prof. Francesco Leonetti

Programma realizzato

1) Misure

Definizione ed esempi di misure (esterne): l'area, la misura di Lebesgue nello spazio euclideo n-dimensionale, la massa di Dirac concentrata in un punto, la misura di probabilita' associata a "testa" e "croce"
Insiemi misurabili e loro proprieta'. Tutti gli insiemi sono misurabili rispetto alla massa di Dirac concentrata in un punto. Tutti gli insiemi sono misurabili rispetto alla misura di probabilita' associata a "testa" e "croce".
Sigma algebre: definizione e proprieta'; la sigma algebra di Borel.
Misure di Borel, misure Borel regolari, misure di Radon.

2) Misura di Hausdorff H^s

Definizione e proprieta': la misura di Hausdorff H^s e' Borel regolare; quando s=0 concide con la misura che "conta" i punti dell'insieme; quando s=n=dimensione dello spazio ambiente, la misura di Hausdorff coincide con la misura di Lebesgue; invarianza per isometrie; comportamento rispetto alle omotetie; comportamento rispetto a certi prodotti cartesiani; comportamento di H^s(A) e di H^t(A) quando s e' minore di t
Calcolo di H^s(A) quando: A e' un punto, A e' un segmento, A e' un quadrato.
Stima dal basso e dall'alto per H^s(A) quando A e' l'insieme di Cantor, di parametro k, 0 < k <1/2, nel piano.
Grafico della funzione s ---> H^s(A) negli esempi precedenti.
Dimensione (di Hausdorff) di un insieme.
Un insieme di R che non e' H^1 misurabile

3) Integrazione

Integrazione, rispetto ad una misura, per funzioni limitate su insiemi di misura finita.
Funzioni che assumono solo un numero finito di valori e loro integrale. Integrabilita' di una funzione limitata. Proprieta' di linearita' e di monotonia dell'integrale. Ogni funzione limitata e' integrabile rispetto alla massa di Dirac concentrata in un punto. Funzioni misurabili, funzioni boreliane, funzioni continue. La misurabilita' garantisce l'integrabilita'. Integrabilita' di una funzione continua rispetto ad una misura di Borel su uno spazio metrico compatto. Confronto tra l'integrazione di Riemann e quella di Lebesgue.

4) Sistemi delle Funzioni Iterate

Teorema delle contrazioni. Lo spazio dei compatti non vuoti del piano con la metrica di Hausdorff. Sistemi delle funzioni iterate. Insieme "fisso" ed approssimazione. Sistemi delle funzioni iterate che hanno come insieme "fisso": l'insieme di Cantor, un quadrato, un triangolo, il triangolo di Sierpinski, un segmento, un punto, la curva di Koch. Simulazioni al calcolatore dei sistemi appena descritti.

5) Sistemi di Funzioni Locali Iterate
Definizione ed esempi. Perdita di uniforme continuita'. Perdita di unicita' per l'insieme "fisso". L'insieme "fisso" massimale. Possibilita' di arrivare all'insieme vuoto partendo da un insieme non vuoto. L'algoritmo di compressione frattale per immagini 16x16. Esempi di compressione e decompressione. L'algoritmo di compressione frattale per immagini 80x80. Esempi di decompressione.

6) Minimizzazione di Funzionali
Funzioni C^0 a tratti in [a,b]. Funzioni C^1 a tratti in [a,b]. Esempi e controesempi. Un primo funzionale: l'integrale del modulo di u'; la sua minimizzazione tra le funzioni C^1 a tratti che assumono valori assegnati agli estremi dell'intervallo [a,b]. Come "scoraggiare" le discontinuita': la strategia di restringersi alle funzioni continue e quella di penalizzare il numero di punti di discontinuita'. Il teorema fondamentale del calcolo integrale per funzioni C^1 a tratti e C^0 dappertutto. Alcuni esempi di minimizzazione. La disuguaglianza di Poincare' coinvolgente la media integrale. Un funzionale simile a quello di Munford-Shah ed una sua stima dal basso.

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