Anno Accademico 2003/2004
Prof. Francesco Leonetti
Programma realizzato
1) Misure
Definizione ed esempi di misure (esterne): l'area, la misura di Lebesgue
nello spazio euclideo n-dimensionale, la massa di Dirac concentrata in un
punto, la misura di probabilita' associata a "testa" e "croce"
Insiemi misurabili e loro proprieta'.
Tutti gli insiemi sono misurabili rispetto alla massa di Dirac
concentrata in un punto.
Tutti gli insiemi sono misurabili rispetto alla misura di probabilita'
associata a "testa" e "croce".
Sigma algebre: definizione e proprieta'; la sigma algebra di Borel.
Misure di Borel, misure Borel regolari, misure di Radon.
2) Misura di Hausdorff H^s
Definizione e proprieta': la misura di Hausdorff H^s e' Borel regolare;
quando s=0 concide con la misura che "conta" i punti dell'insieme; quando
s=n=dimensione dello spazio ambiente, la misura di Hausdorff coincide con
la misura di Lebesgue; invarianza per isometrie; comportamento rispetto
alle omotetie; comportamento rispetto a certi prodotti cartesiani;
comportamento di H^s(A) e di H^t(A) quando s e' minore di t
Calcolo di H^s(A) quando: A e' un punto, A e' un segmento, A e' un
quadrato.
Stima dal basso e dall'alto per H^s(A) quando A e' l'insieme di Cantor, di
parametro k, 0 < k <1/2, nel piano.
Grafico della funzione s ---> H^s(A) negli esempi precedenti.
Dimensione (di Hausdorff) di un insieme.
Un insieme di R che non e' H^1 misurabile
3) Integrazione
Integrazione, rispetto ad una misura, per funzioni limitate su
insiemi di misura finita.
Funzioni che assumono solo un numero finito di
valori e loro integrale. Integrabilita' di una funzione limitata.
Proprieta' di linearita' e di monotonia dell'integrale.
Ogni funzione limitata e' integrabile rispetto alla massa di Dirac
concentrata in un punto.
Funzioni misurabili, funzioni boreliane, funzioni continue.
La misurabilita' garantisce l'integrabilita'.
Integrabilita' di una funzione continua
rispetto ad una misura di Borel
su uno spazio metrico compatto.
Confronto tra l'integrazione di Riemann e quella di Lebesgue.
4) Sistemi delle Funzioni Iterate
Teorema delle contrazioni. Lo spazio dei compatti non vuoti del
piano con la metrica di Hausdorff. Sistemi delle funzioni iterate.
Insieme "fisso" ed approssimazione.
Sistemi delle funzioni iterate che hanno come insieme "fisso":
l'insieme di Cantor, un quadrato, un triangolo, il triangolo di
Sierpinski, un segmento, un punto, la curva di Koch.
Simulazioni al calcolatore dei sistemi appena descritti.
5) Sistemi di Funzioni Locali Iterate
Definizione ed esempi. Perdita di uniforme continuita'. Perdita di
unicita' per l'insieme "fisso". L'insieme "fisso"
massimale. Possibilita' di arrivare
all'insieme vuoto partendo da un insieme non vuoto.
L'algoritmo di compressione frattale per immagini 16x16.
Esempi di compressione e decompressione.
L'algoritmo di compressione frattale per immagini 80x80.
Esempi di decompressione.
6) Minimizzazione di Funzionali
Funzioni C^0 a tratti in [a,b]. Funzioni C^1 a tratti in [a,b]. Esempi e
controesempi.
Un primo funzionale: l'integrale del modulo di u'; la sua minimizzazione
tra le funzioni C^1 a tratti che assumono valori assegnati agli estremi
dell'intervallo [a,b]. Come "scoraggiare" le discontinuita': la
strategia di restringersi alle funzioni continue
e quella di penalizzare il numero di punti di discontinuita'.
Il teorema fondamentale del calcolo integrale per funzioni C^1 a tratti e
C^0 dappertutto.
Alcuni esempi di minimizzazione.
La disuguaglianza di Poincare' coinvolgente
la media integrale. Un funzionale simile a quello di Munford-Shah ed una
sua stima dal basso.
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