Anno Accademico 2004/2005

Prof. Francesco Leonetti

Programma realizzato

Misure

Definizione ed esempi di misure (esterne): l'area, la misura di Lebesgue nello spazio euclideo n-dimensionale, la massa di Dirac concentrata in un punto, la misura di probabilita' associata a "testa" e "croce", la misura associata ad una immagine.
Distanza tra due misure. Calcolo della distanza quando la prima misura e' la misura di Lebesgue e la seconda e' la massa di Dirac concentrata in un punto x°.
Insiemi misurabili e loro proprieta'. Tutti gli insiemi sono misurabili rispetto alla massa di Dirac concentrata in un punto. Tutti gli insiemi sono misurabili rispetto alla misura di probabilita' associata a "testa" e "croce".
Sigma algebre: definizione e proprieta'; la sigma algebra di Borel.
Misure di Borel, misure Borel regolari, misure di Radon.

Misura di Hausdorff H^s

Definizione e proprieta': la misura di Hausdorff H^s e' Borel regolare; quando s=0 concide con la misura che "conta" i punti dell'insieme; quando s=n=dimensione dello spazio ambiente, la misura di Hausdorff coincide con la misura di Lebesgue; invarianza per isometrie; comportamento rispetto alle omotetie; comportamento rispetto a certi prodotti cartesiani; comportamento di H^s(A) e di H^t(A) quando s e' minore di t;
H^1 e la lunghezza di una curva; H^2 e l'area di una superficie.
Calcolo di H^s(A) quando: A e' un punto, A e' un segmento, A e' un quadrato.
Grafico della funzione s --- > H^s(A) negli esempi precedenti.
Dimensione (di Hausdorff) di un insieme.

Minimizzazione di Funzionali

Funzioni C^0 a tratti in [a,b]. Funzioni C^1 a tratti in [a,b]. Esempi e controesempi. Un primo funzionale: l'integrale del modulo di u'; la sua minimizzazione tra le funzioni C^1 a tratti che assumono valori assegnati agli estremi dell'intervallo [a,b]. Come "scoraggiare" le discontinuita': la strategia di restringersi alle funzioni continue e quella di penalizzare il numero di punti di discontinuita'. Il teorema fondamentale del calcolo integrale per funzioni C^1 a tratti e C^0 dappertutto. Alcuni esempi di minimizzazione. La disuguaglianza di Poincare' coinvolgente la media integrale. Un funzionale simile a quello di Munford-Shah ed una sua stima dal basso.
Disuguaglianza di Jensen. Minimizzazione di funzionali integrali, con dipendenza convessa dalla derivata prima, tra le funzioni che assumono valori assegnati agli estremi dell'intervallo di integrazione.
Minimalita' ed equazione di Eulero Lagrange.
Un funzionale con dipendenza nonconvessa dalla derivata prima: l'integrale di Perona - Malik.
Flusso (o dinamica) gradiente associato ad un funzionale integrale; il problema di mettere a fuoco una immagine; studio qualitativo dell'equazione del calore e di quella "all'indietro"; studio della dinamica gradiente associata al funzionale di Perona - Malik.

Bibliografia