Anno Accademico 2006/2007

parte del corso svolta dal Prof. Francesco Leonetti

1) Misure

Definizione di misura (esterna); monotonia rispetto all'inclusione. La misura di Dirac concentrata in un punto. La misura associata a "testa" e "croce".
Insiemi misurabili. Tutti gli insiemi sono misurabili rispetto alla misura di Dirac. Tutti gli insiemi sono misurabili rispetto alla misura associata a "testa" e "croce".
Sigma algebre: definizione e proprieta'; la sigma algebra di Borel.
Misure di Borel, misure Borel regolari, misure di Radon.

2) Misura di Hausdorff H^s

Definizione e proprieta': la misura di Hausdorff H^s e' Borel regolare; quando s=0 concide con la misura che "conta" i punti dell'insieme; quando s=n=dimensione dello spazio ambiente, la misura di Hausdorff coincide con la misura di Lebesgue; invarianza per isometrie; comportamento rispetto alle omotetie; comportamento rispetto a trasformazioni lipschitziane; comportamento rispetto a certi prodotti cartesiani; comportamento di H^s(A) e di H^t(A) quando s e' minore di t.
Grafico di s ---> H^s(A) quando: A e' un punto, A e' un segmento, A e' un quadrato.
Dimensione (di Hausdorff) di un insieme e proprieta'.
Stima dal basso e dall'alto per H^s(A) quando A e' l'insieme di Cantor, di parametro k, 0 < k <1/2, nel piano.
Una modifica dell'insieme di Cantor che porta a tutt'altro risultato.
Metodo Monte Carlo per stimare l'area di un insieme.