Scienza delle Costruzioni

Questo è un resoconto sintetico delle lezioni del corso tenuto nel primo semestre dell'anno accademico 2002-2003. Esso ha lo scopo di indicare allo studente un percorso di studio e a dargli una visione di insieme. La suddivisione in paragrafi non corrisponde alla suddivisione in lezioni.

Il modo più elementare per descrivere un corpo che osserviamo consiste nell'attribuire ad esso una posizione. Una descrizione meno sintetica consiste nell'attribuire al corpo un insieme di posizioni, ciascuna corrispondente ad un punto del corpo. Uno stesso punto può assumere posizioni diverse nel tempo. Per questo è necessario distinguere i punti del corpo dalle loro posizioni. Ad una coppia di posizioni è associata l'idea di traslazione.

Queste nozioni intuitive sono ricondotte alla definizione di Spazio Euclideo, che viene visto come spazio delle posizioni, a cui è associato lo spazio vettoriale delle traslazioni.

Si definiscono configurazioni, forme e loro evoluzione nel tempo. Si definisce deformazione la trasformazione di una forma in un'altra. Si caratterizzano le deformazioni rigide e se ne dà una rappresentazione. Un corpo le cui configurazioni sono descritte da deformazioni rigide si dirà corpo rigido.

Sono studiate in dettaglio le rotazioni in uno spazio euclideo di dimensione tre, esaminando le proprietà degli endomorfismi ortogonali dello spazio vettoriale delle traslazioni. Questo studio è accompagnato dal calcolo dell'asse e dell'ampiezza di una rotazione assegnata attraverso la sua matrice e, viceversa, dal calcolo della matrice di una rotazione definita dall'asse e dall'ampiezza.

Una generalizzazione delle deformazioni rigide sono le deformazioni affini. Ad una deformazione affine è associato un endomorfismo dello spazio vettoriale, detto gradiente della deformazione. Un corpo le cui configurazioni sono descritte da deformazioni affini si dirà corpo affine e verrà studiato in dettaglio come modello di primo livello nella descrizione dei corpi deformabili.

In una deformazione affine segmenti rettilinei restano rettilinei, si modificano però le loro lunghezze e gli angoli tra di essi. Si definisce la dilatazione lungo una direzione e lo scorrimento corrispondente ad una coppia di direzioni. Un quadrato si trasforma in un parallelogramma, un cerchio in un'ellisse (un cubo in un parallelepipedo, una sfera in un'ellissoide). Una notevole proprietà di una trasformazione affine consiste nel fatto che essa può essere decomposta in una dilatazione, che lascia invariate due direzioni ortogonali, pur dilatandole, seguita da una deformazione rigida.

Viene costruito l'algoritmo per il calcolo della dilatazione e della rotazione corrispondenti ad una assegnata deformazione affine. Da una coppia di figure che rappresentano due configurazioni di uno stesso corpo si depura della parte rigida la deformazione che porta una figura sull'altra. Il calcolo fornisce le dilatazioni principali, le direzioni principali della dilatazione, l'ampiezza della rotazione.

In una deformazione generica segmenti rettilinei diventano tratti di curva. Se si considera un particolare punto del corpo e i vettori tangenti alle curve passanti per la sua posizione in ciascuna configurazione, risulta definito anche in questo caso il gradiente della deformazione, che descrive una deformazione affine in prossimità del punto considerato. Questo serve a motivare lo studio delle deformazioni affini dando ad esse un carattere di maggiore generalità.

Una deformazione si descrive concretamente attraverso funzioni scalari delle coordinate delle posizioni nella configurazione iniziale, utilizzando cioè una parametrizzazione della forma iniziale. Vengono fatti degli esempi e viene illustrato come il calcolo del gradiente della deformazione si riconduca a calcoli già noti di derivate parziali.

Si definiscono velocità e atti di moto per corpi rigidi e corpi affini. Nella rappresentazione degli atti di moto rigidi compare la velocità angolare, che risulta essere descritta da un endomorfismo antisimmetrico o dal suo vettore assiale. Nella rappresentazione degli atti di moto affini compare il gradiente della velocità. La decomposizione di questo in parte simmetrica e parte antisimmetrica esprime la separazione tra parte rigida e parte non rigida dell'atto di moto.

La interazione meccanica di un corpo con l'esterno è descritta da una distribuzione di forze, il cui valore su atti di moto test si dice potenza virtuale esterna. Ai descrittori degli atti di moto test corrispondono, attraverso la potenza, i descrittori della interazione con l'esterno. Nel caso di un corpo puntiforme la interazione con l'esterno è descritta da una forza. Nel caso di un corpo rigido tale interazione è descritta da una forza risultante e da un momento risultante, che è visto come un endomorfismo antisimmetrico. Nel caso di un corpo affine la interazione è descritta da una forza risultante e da un momento risultante, che è in questo caso un endomorfismo generico. Nella Meccanica le forze sono in generale descritte da distribuzioni di volume, come la forza peso o la forza di inerzia, e da distribuzioni di superficie, come una pressione.

Si definiscono equipotenti quei sistemi di forze che spendono la stessa potenza in un qualsiasi atto di moto test. Vengono proposti esempi di sistemi di forze equipotenti per atti di moto affini. Si vede da tali esempi come sistemi di forze che hanno la stessa risultante e lo stesso momento antisimmetrico non spendono in generale la stessa potenza in atti di moto che non siano rigidi. Si motiva così la definizione di momento simmetrico che prelude alla nozione di tensione.

Per i corpi rigidi viene introdotto il principio di bilancio: in ciascuna configurazione la potenza virtuale esterna è nulla per ogni atto di moto rigido. Questo principio fornisce le equazioni di bilancio: la forza risultante è nulla e il momento risultante è nullo. In generale occorre tener conto delle forze dipendenti dal moto, come le forze di inerzia.

Se per i corpi affini si assumesse che in ciascuna configurazione la potenza virtuale esterna sia nulla per ogni atto di moto affine, risulterebbe nulla la forza risultante e sia la parte antisimmetrica che la parte simmetrica del momento risultante. Si escluderebbe così la presenza di forze che spendano potenza in un atto di moto di dilatazione, peculiarità questa dei corpi deformabili. Occorre perciò ammettere che il materiale costituente il corpo dia un contributo alla potenza. Si definisce così la potenza virtuale interna, come la potenza spesa dalla tensione nel gradiente della velocità.

Il principio di bilancio per i corpi affini è formulato nel modo seguente: in ciascuna configurazione la somma della potenza virtuale esterna e della potenza virtuale interna è nulla per ogni atto di moto affine. Questo principio fornisce le equazioni di bilancio: la forza risultante è nulla, il momento risultante è uguale alla tensione per il volume. Si assume poi un altro principio, detto di obiettività materiale, secondo il quale la potenza interna è nulla in ogni atto di moto rigido. Questo principio si formula in modo più generale come invarianza della potenza interna rispetto all'osservatore, oppure come invarianza della potenza interna per sovrapposizione di un moto rigido. Da tale principio si deduce che la tensione media è un tensore simmetrico. Pertanto il momento risultante avrà parte antisimmetrica nulla e parte simmetrica uguale alla tensione per il volume.

Vengono fatti degli esempi di calcolo del tensore momento. Si esamina una configurazione di un corpo soggetto ad un sistema di forze. Si calcola la forza risultante e il momento risultante. Si controlla che le equazioni di bilancio siano soddisfatte. Si calcola la tensione attraverso le equazioni di bilancio.

La tensione è descritta da una funzione della deformazione, in generale della storia della deformazione, dipendente dal materiale, detta funzione di risposta del materiale. È attraverso questa funzione che viene introdotto nel modello il materiale (o la sostanza) di cui un corpo è fatto. Una teoria costitutiva tratta della caratterizzazione di questa funzione.

Come conseguenza del principio di obiettività materiale si calcola la forma ridotta della funzione di risposta per un materiale elastico, da cui si vede che la tensione dipende essenzialmente dalla dilatazione. In questo fatto risiede la vera motivazione della decomposizione di una deformazione affine nel prodotto di una dilatazione e di una rotazione.

Viene introdotta la nozione di simmetria del materiale, definendo il gruppo di simmetria. Si discute sul significato di isotropia, facendo degli esempi.

Una deformazione può essere descritta anche attraverso il campo di spostamento. Un campo di spostamento si descrive concretamente in termini di componenti, funzioni scalari delle coordinate delle posizioni nella configurazione iniziale. Il gradiente della deformazione risulta essere la somma dell'identità e del gradiente del campo di spostamento.

In elasticità lineare si assume che un corpo si sposti molto poco da una assegnata configurazione, di solito con tensione nulla in assenza di forze applicate. In particolare si assume che il gradiente del campo di spostamento sia piccolo. Si giunge alla definizione del tensore della dilatazione infinitesima, erede nella teoria linearizzata della dilatazione. La relazione tra il tensore della dilatazione infinitesima e la deformazione consiste nel fatto che esso è la parte simmetrica del gradiente dello spostamento.

In elasticità lineare la funzione di risposta ' descritta dal tensore elastico. Si assume che questo sia un endomorfismo simmetrico nello spazio dei tensori simmetrici, risultando così definita una energia potenziale elastica. Se il tensore elastico è definito positivo allora valgono il teorema di unicità e il teorema del minimo della energia potenziale totale.

Si esamina la funzione di risposta per materiali isotropi, in elasticità lineare. Viene risolto il problema di una barra in trazione, costruendo le espressioni del modulo di Young e del modulo di Poisson. Dal caso di un corpo soggetto a pressione costante si deriva l'espressione del modulo di compressione. Si vede come in generale dalla tensione si possa ottenere il tensore della dilatazione infinitesima.

Un problema in generale consiste nel calcolare la tensione, il tensore della dilatazione infinitesima e lo spostamento in ogni punto, data una configurazione, le forze applicate e i vincoli. Si discute dei vincoli (condizioni sulle posizioni) e sulle forze reattive. Queste sono caratterizzate dalla proprietà di spendere potenza nulla in atti di moto compatibili con i vincoli. Si esaminano alcuni semplici problemi e se ne calcola la soluzione, osservando come la tensione possa risultare determinata solo dalle forze applicate oppure anche dai vincoli.

Il continuo di Cauchy viene definito come generalizzazione del corpo affine, estendendo le deformazioni a tutte quelle regolari. Gli atti di moto in questo caso non sono più limitati a quelli affini e il gradiente della velocità non è più uniforme. La tensione è definita puntualmente. Il principio di bilancio è formulato nel modo seguente: in ciascuna configurazione la somma della potenza virtuale esterna e della potenza virtuale interna è nulla per ogni atto di moto. Da tale principio si ottengono due equazioni di bilancio. Una è definita nella parte interna della forma del corpo e una sul bordo di questa. Dal principio di obiettività materiale si deduce che la tensione è un tensore simmetrico.

Il significato della tensione di Cauchy si può illustrare utilizzando quanto visto per il corpo affine. Il suo valore in un punto qualsiasi si può riguardare come il momento simmetrico di una distribuzione di forza superficiale sul bordo di un parallelepipedo, in particolare di un cubo, diviso il volume di questo. La forza superficiale su ciascuna faccia dipende dalla normale ad essa. Ruotando il cubo cambia il valore della forza superficiale sulle facce. Si giunge così alla definizione delle direzioni principali della tensione e delle tensioni principali.

Un problema in generale consiste nel calcolare la tensione, il tensore della dilatazione infinitesima e lo spostamento in ogni punto, data una configurazione, la distribuzione di forza di volume e posizioni o distribuzione di forze superficiali al bordo. Essendo le equazioni di bilancio del continuo di Cauchy delle equazioni alle derivate parziali, è possibile ottenere una soluzione solo per alcune classi di problemi. Questo motiva la introduzione di modelli più semplici che sono di solito visti come approssimazioni del continuo di Cauchy.

Si vede come si possa costruire, in elasticità lineare, un modello intermedio tra il corpo affine e il continuo di Cauchy, utilizzando lo schema concettuale già adottato per definire questi due modelli. Nel caso di corpo affine le componenti del campo di spostamento sono descritte da polinomi lineari nelle coordinate (cartesiane) delle posizioni nella configurazione iniziale. Nel caso del continuo di Cauchy esse sono descritte da funzioni continue regolari. Un nuovo modello di corpo si può definire assumendo che tali funzioni siano date da combinazioni lineari di funzioni base assegnate. In tal modo i campi di spostamento sono descritti da un numero finito di parametri di configurazione, i coefficienti delle combinazioni lineari delle funzioni base. Essendo un moto descritto dalla evoluzione dei parametri di configurazione, un campo di velocità è descritto da combinazioni lineari delle stesse funzioni base che descrivono i campi di spostamento.

Utilizzando le funzioni base, si scrive la espressione generica della potenza virtuale e si impone che questa sia nulla per uno qualsiasi degli atti di moto realizzabili. Adottando la funzione di risposta per un materiale elastico lineare isotropo e omogeneo, si ottiene un sistema di equazioni algebriche lineari la cui matrice si dice matrice di rigidezza. Si esaminano degli esempi modificando sia i sistemi di forze che i vincoli, confrontando le soluzioni ottenute con modelli diversi.

Altri modelli descrivono corpi sottili, come fili, barre, lamine, gusci. Si introduce il modello di trave di Timoshenko.

La forma del corpo è quella che una figura piana, la sezione, genera scorrendo lungo una curva, l'asse della trave. Si applica ancora una volta lo schema già definito per la costruzione di un modello meccanico. La deformazione è in questo caso descritta da una deformazione dell'asse e da una rotazione per ciascuna sezione. Un atto di moto è descritto dalle velocità dei punti dell'asse e dalla velocità angolare di ciascuna sezione. Nella potenza virtuale esterna le azioni esterne sono rappresentate da distribuzioni di forza e momento (antisimmetrico) lungo l'asse e da forze e momenti alle estremità. Nella potenza virtuale interna i descrittori della tensione sono una forza e un momento. Si ottengono due equazioni di bilancio.

Considerando il caso più semplice di spazio delle posizioni di dimensione due, si costruiscono le equazioni scalari di bilancio linearizzate. Le funzioni di risposta per un materiale elastico risultano dipendenti da allungamento, scorrimento e inflessione.

Si esaminano i vincoli e la corrispondente caratterizzazione delle reazioni vincolari. Si discute del ruolo delle condizioni al bordo sulle forze oppure sugli spostamenti. Si esaminano casi esemplari di calcolo delle sollecitazioni di forza normale, taglio e momento. Si vede come dalle equazioni differenziali di bilancio si giunge alla soluzione in termini di sollecitazione solo se non ci sono troppi vincoli. Altrimenti occorre utilizzare, attraverso le funzioni di risposta, le condizioni di vincolo.

Nel caso di una coppia di travi vincolate tra loro si vede come, oltre alle condizioni di vincolo al bordo, occorre far uso delle condizioni di continuità della sollecitazione che peraltro, come le condizioni di bilancio al bordo, si ottengono dal principio della potenza virtuale.

Introducendo le forze di inerzia nelle equazioni lineari di bilancio, si costruiscono le equazioni delle piccole oscillazioni. Si calcolano frequenze proprie e modi per una trave appoggiata.

Per una trave appoggiata inestensibile soggetta ad una forza di trazione, si esaminano le equazioni delle piccole oscillazioni attorno alla configurazione di equilibrio. Poiché le frequenze proprie risultano dipendenti dalla forza applicata, si discute della stabilità della configurazione di equilibrio calcolando il valore critico della forza.